El hexágono mágico

Este es el hexágono mágico, formado a su vez por 19 hexágonos.

De manera similar a los conocidos cuadrados mágicos, en este hexágono se distribuyen los números de 1 a 19 (uno en cada celda) de manera que cada una de las líneas verticales y diagonales formadas por los números suman siempre 38, llamada constante mágica:

18+17+3 = 11+1+7+19 = 9+6+5+2+16 = 14+8+4+12 = 15+13+10 = 38

16+19+3 = 12+2+7+17 = 10+4+5+1+18 = 13+8+6+11 = 15+14+9 = 38

9+11+18 = 14+6+1+17 = 15+8+5+7+3 = 13+4+2+19 = 10+12+16 = 38

Si llamamos orden del hexágono al número de celdas hexagonales que conforman cada lado, éste sería de orden 3. Además, para tener un carácter especialmente mágico las n celdas hexagonales que lo componen deben rellenarse con los números naturales de 1 a n.

Junto con el evidente el hexágono trivial de orden 1, no existen más hexágonos mágicos que el de orden 3 salvo rotaciones o reflexiones del mismo. En la página Magic Hexagon se demuestra de manera sencilla.

Al hilo de esta propiedad, existe un juego-solitario con ese nombre que consiste en completar la estructura con las 19 fichas correspondientes.

Podéis jugar online en esta página.

La primera referencia conocida de este hexágono es de un arquitecto alemán, Ernst von Haselberg, en 1887.

Existen otros hexágonos cuasi-mágicos que cumplen la propiedad citada pero que no se proveen de los números naturales desde 1, aunque todos los números son consecutivos:

Uno de orden 4 comienza en 3 y acaba en 38, siendo la constante mágica igual a 111, y otro de orden 5 comienza en 6 y acaba en 66 con constante mágica 244:

El más grande conocido hasta ahora, definido en 2006, es de orden 7. Va de 2 a 128 y la constante mágica es 635.

Incluso existen de órdenes superiores si se da más libertad a la elección de los números a colocar.