Triángulos heronianos

Herón de Alejandría fue un matemático griego del siglo I de la era actual, reconocido ingeniero e inventor y famoso por su conocida fórmula de Herón, que determina la superficie de cualquier triángulo en función de sus lados:

siendo s  el semiperímetro del triángulo, de lados a, b  y c

Un triángulo heroniano o de Herón es aquel en el que son números naturales tanto los valores de sus lados como el valor de su superficie, medida en las mismas unidades que los lados. El triángulo de Herón  se llama primitivo  si el máximo común divisor de las longitudes de sus lados es la unidad.

Cualquier triángulo rectángulo cuyos lados sean ternas pitagóricas es, por supuesto, de Herón ya que la superficie es la mitad del producto de sus catetos y uno de ellos, al menos, es par.

Así mismo, si construimos triángulos isósceles uniendo dos triángulos iguales de los anteriores por uno de sus catetos, los nuevos también son de Herón.

Euler encontró una generalización para las posibles longitudes de lados de los triángulos de Herón:

Dados

se verifica que las longitudes

son los lados de un triángulo de Herón.

En efecto, el semiperímetro es

y la superficie es

A través de http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html podemos acceder a diversas series de OEIS basadas en los lados y/o las superficies de estos triángulos

Y aquí se muestra una curiosa serie de triángulos de Herón cuyos lados son de valores consecutivos:

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Torres

Poco antes de la Segunda Guerra Mundial un arquitecto de nombre Smith aterrizó en Australia y construyó la primera torre de la ciudad de Thiscityhasaveryshortname.

Al año siguiente construyó una segunda torre con un piso más que la primera. Cada año volvía y construía una nueva torre con una planta adicional.

El Sr. Smith indicó que, a finales de 1989, sus torres poseían un total de 1989 plantas.

¿Cuál es el número de pisos en la mayor de las torres en ese año?

El radio de la pequeña

En una circunferencia de radio 6 cm se inscribe el triángulo isósceles PQR  en el que PQ  = PR. Una segunda circunferencia es tangente a la primera y tangente a la base QR  del triángulo en su punto medio, como se muestra en la figura.

Si la longitud de PQ es 4√5 cm, ¿cuál es el radio de la circunferencia pequeña?

Kit Webster, luz y geometría

Kit Webster es un artista australiano multidisciplinar, que trabaja escultura, instalaciones y nuevas tecnologías, obras para festivales, exposiciones, performances, estructuras arquitectónicas y proyectos comerciales.

La geometría está siempre presente en sus creaciones, fundamentalmente como experimentaciones espaciales, y es muy conocido por sus formas esculturales híbridas y entornos de inmersión.

Un ejemplo: la obra Hypercube, una “escultura cúbica concéntrica iluminada con una matriz programable LED de 120 metros que permite la experimentación de una gama de coreografías ligeras, aunque limitadas por su forma minimalista” según dice.

o Continuum, una escultura LED realizada para la Melbourne Music Week de 2014.

Podéis admirar sus trabajos en su página.

Un montón de bombones

Raquel y María comparten un montón de bombones de la siguiente manera: Raquel toma uno y María, codiciosa, toma dos; a continuación, Raquel toma tres y María, seguidamente, toma 4… y así sucesivamente cada una va tomando un bombón más de los que había tomado la anterior

María es la última en tomar los bombones llevándose todos los que quedan. Si se ha llevado, en total, 10 bombones más que Raquel, ¿cuántos bombones había en el montón inicial?