Comenzando con un número entero positivo se construye una sucesión de números según la siguiente regla: cada término se obtiene restando al anterior el mayor cuadrado perfecto que es menor o igual que el término anterior, hasta llegar a cero.
Por ejemplo, si k=142 tenemos la sucesión 142, 21, 5, 1, 0 pues 21=142–121; 5=21–16; 1=5–4; 0=1–1.
Halla el menor k para que la sucesión tenga exactamente 9 términos.
El Sr. Potentado debe 5.000 millones de ecus al Estado.
Al inspector de Hacienda, que había ido expresamente a recordárselo, le comentó: «En orden creciente, tengo derecho a algunos descuentos en esta suma. Primero un descuento de un a% por los firlucios, luego un b% por haber modernizado mis fábricas con los krokos, luego el c% porque estoy en un sector de alta succión económica y finalmente un d% por bonos europeos de camelamen”, siendo todos los porcentajes números enteros positivos.
«¡Cierto!», admitió el inspector, “con todos los cálculos realizados, ¡sólo deberás 3.095.547.000 €! «
«Debes estar equivocado, creo que es bastante menos de 3 mil millones …»
«En absoluto», respondió el experto en la materia, «eres tú quien está en error al descontar (a+b+c+d)%. Lo que se debe hacer es calcular un a% de descuento en 5 mil millones, luego un descuento de b% de lo que nos queda, y así sucesivamente … ¡es distinto! «
¿Cuánto pensó elSr. Potentado que le debía al Estado?
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Aquí está la solución del problema El último examen, propuesto en la entrada del día 16 de agosto:
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Se llama número primo circular a todo aquel que genera exclusivamente números primos en toda permutación cíclica de sus dígitos.
Por ejemplo, 13 es primo circular porque 31 también es primo; 113 es primo circular porque 131 y 311 también son primos.
Por supuesto, si un número es primo circular también lo son todos los generados al permutar cíclicamente sus dígitos.
Una consecuencia inmediata de la definición es que ningún primo circular de más de una cifra puede contener dígitos pares ni el dígito 5. Es decir, solo pueden contener los dígitos 1, 3, 7 y 9.
Están descritos en la secuencia A068652 de OEIS, y los primeros primos circulares son
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, …
En esta página pueden obtenerse todos los menores de un millón.
Con la misma definición, pueden encontrarse primos circulares en otras bases de numeración distintas de la decimal, como se comenta en la página de Wikipedia.
En la página World Of Numbers se comenta con más detalle este concepto numérico, se les “emparenta” a estos números con otros de definición parecida y se afirma que no existen primos circulares de 10, 11 o 12 cifras, y que sería muy extraño encontrar alguno con un número superior de cifras salvo, evidentemente, que sean primos repunits.
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Tenemos aquí la solución del problema Un castillo medieval, propuesto en la entrada del día 15 de agosto:
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Sea PQR un triángulo tal que ^P = 75o y ^Q = 60o.
Un hexágono regular ABCDEF, de lado 1, es interior al triángulo PQR con el lado AB sobre el lado PQ, el lado CD sobre el lado QR, el vértice E en el interior del triángulo PQR y el vértice F en el lado PR.
Halla la longitud del lado QR.
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