La magia de las inquietantes desapariciones (y apariciones) de elementos en una estructura lo hemos expuesto aquí con variados ejemplos.
Esta es otra que se basa en similares principios geométricos que las anteriores. Y nunca deja de asombrarnos.
El vídeo está firmado (y creado) por @physicsfun
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En la misma línea que todas las desapariciones ya descritas en esta web, se presenta aquí una construcción que le da una vuelta más de tuerca a este tipo de trucos.
Se construye una misma superficie añadiendo, ¡por dos veces sucesivas!, una pieza más a las que la determinan.
El chocolate del loro y Más trampas geométricas son entradas que muestran la misma paradoja.
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En la línea de otras desapariciones misteriosas, que no tienen más fundamento geométrico que el que ya se ha insinuado en ejemplos, en este mismo blog, como estos: desapariciones misteriosas, ¿dónde está el huevo?, trece calaveras, el chocolate del loro, …, aquí tenéis otro para asombrar, como el primero, con gente corriente…
¿Dónde está el secreto?
Coloca tres vasos en línea como se ve en la figura, de forma que queden alternados boca arriba y boca abajo.
El propósito es ponerlos todos boca arriba con movimientos siempre iguales: solo se pueden coger dos vasos adyacentes y darles la vuelta simultáneamente depositándolos en su posición original.
¿Cuántos movimientos has necesitado?… ¡fácil!, ¿eh?
Ahora, los ponemos de parecida forma: alternados boca arriba y boca abajo, pero exactamente así:
Y hay que conseguir el mismo objetivo: ponerlos todos boca arriba con movimientos siempre iguales. Como antes, solo se pueden coger dos vasos adyacentes y darles la vuelta simultáneamente depositándolos en su posición original.
¿Cuántos movimientos has necesitado?… ¿cuántos?….
¿Qué pasa ahora?… ¿me lo puedes explicar?…
La botella de Klein es una superficie de una sola cara, ubicada en el espacio tridimensional, y… ¡sin borde!, lo que la emparenta con la banda de Moebius. Fue descrita, por primera vez, en 1882 por Félix Klein, de ahí su nombre.
Su magia consiste en poder recorrerla en su totalidad de manera totalmente contínua y atravesando todos y cada uno de los puntos que la forman. En un momento dado ‘entraremos’, ‘saldremos’ (que, aquí, no significan nada), iremos por ‘arriba’ (si es que tiene sentido decir ‘arriba’ en esta estructura) y, al cabo de cierto tiempo, pasaremos ‘por debajo’ de donde habíamos indicado como ‘arriba’… un lío, ¿no?
En fin, todo lo que intentes ‘introducir’ en ella estará en su ‘exterior’. Es decir, será tarea inútil intentar ‘rellenarla’ porque no existen, en ella, los conceptos ‘dentro’ ni ‘fuera’.
La imagen de la izquierda nos muestra su construcción así como el siguiente vídeo, que nos hace recorrer la superficie, nos la muestra desde distintas perspectivas y nos enseña su ‘parentesco’ con la banda de Moebius:
y, si no está del todo claro, hasta existe un canal en Youtube de la botella de Klein que recopila todos los vídeos de esta superficie alojados en ese sitio.
Ya hemos dicho que está relacionada con esa otra superficie tan ‘rara’ como es la Banda de Moebius: seccionando la botella de Klein en dos partes a lo largo de su plano de simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especular de la otra. Además, también se puede cortar la botella de Klein en una única banda de Moebius.
¿Su utilidad?: en principio matemática, como un caso excepcional a estudiar, aunque no hay que descartar aplicaciones reales futuras… la historia siempre nos lo recuerda. Por ahora, ¡conformémonos con descorchar una botella!
Se han hecho botellas de vidrio que, está claro, pueden servir de adorno, pero no de recipiente.
Para verla desde cualquier perspectiva entra en http://www.um.es/docencia/plucas/klein.html, y para verla ‘retorcida’ en http://www.fotomat.es/botella-de-klein/… Y para los que quieran saber mucho (matemáticamente hablando), http://centrodeartigos.com/articulos-revista-digital/contenido-revista-33565.html resolverá bastantes dudas.
Conocido truco, pero aún asombra cada vez que se practica.
Aunque está en inglés es muy fácil jugar con él… y, para más datos, os lo explico: la cuestión está en pensar un número (¡relájate y piénsatelo bien!, dice el juego… ;-)) e indicar su color pulsando en el botón correspondiente y, luego, en la ‘casita donde habita’.
Después, de tres, siempre abres la puerta adecuada:
¡EL NÚMERO PENSADO ESTÁ DETRÁS!
Pulsad para jugar:
Se puede discutir, pero es pura lógica…
La banda de Moebius es una superficie de una sola cara y un solo borde. Basta recorrer la superficie con un dedo para llegar el mismo punto inicial. Y lo mismo podemos hacer en su único borde.
Tan famosa es la cinta que Escher le dedicó más de una obra como la que ha inspirado esta animación y que muestra claramente como tiene una sola cara:
… y es un motivo para crear logotipos, como el conocido del reciclaje.
Su construcción es sencilla: basta coger una tira de papel y hacer un giro de 180º en uno de sus lados y pegarlo con el lado opuesto:
Y hay alguna variante más: hacer un giro completo, giro y medio…
Sus propiedades son muy interesantes, aunque vamos a limitarnos a las que sorprenden a primera vista. Está claro que si cortamos un anillo de papel paralelamente a su borde obtenemos dos anillos separados de las mismas características, aunque más delgados.
¿Qué sucede si se corta, de la misma forma y a la distancia mitad exactamente de su borde, una banda de Moebius?, ¿y si se vuelve a cortar el resultado?, ¿y si cortamos la cinta original a un tercio de su borde?, ¿y si cortamos la cinta que resulta de pegar sus extremos haciendo un giro completo a uno de ellos?… ¿Os atrevéis a contestar echándole imaginación y antes de practicar los cortes o de ver estos vídeos de QuoTV?
¿Por qué sucede esto?
Para saber más de la cinta, entrad en MatesMates, en Enciclográfica o en Gaussianos, o leed las sorprendentes aplicaciones de la banda de Moebius.
Igual que en esta otra entrada, ir laminando objetos es un buen recurso para provocar aparentes paradojas geométricas que parecen “mágicas”. Aquí tenéis otro ejemplo: con cortes adecuados conseguimos que siempre nos sobre una pieza como el chocolate del loro, que siempre tenía.
La explicación gráfica que viene a continuación nos muestra, con toda su crudeza, la razón de esta maravilla. El secreto está en los cortes (no son todo lo claros que parecen) y la tableta disminuye en su superficie tanto como el área de la pieza que sobra:
En ZTFNews se desmenuza este chocolate y se muestra un vídeo con el mismo truco.
Hay otras figuras que asombran a través del mismo principio: iremos mostrándolas.
Las matemáticas poseen propiedades mágicas. Si no fuese así, ¿cómo podría desaparecer de forma tan elegante un enanito de esta imagen
Quince enanitos
… al permutar las dos partes superiores de ella?
Catorce enanitos
Córtese la imagen por las líneas de puntos en tres partes y permútense las dos partes superiores: ¡hay un enanito menos… o uno más!… y… ¿quién se fue?… ¿cómo es posible?…
¿Sabrías contestar a esta cuestión?
Si, claro, no es fácil… En fin… mira otro ejemplo más sencillo… quizás te de la pista definitiva: Seis caras y seis sombreros…
Seis caras
… se convierten, deslizando la parte inferior de la imagen hacia la izquierda, en… ¡cinco caras!… y seis sombreros:
Cinco caras
¿Quién se fue?… y… ¿dónde se fue?
Martin Gardner, gran divulgador científico, trata estas «desapariciones» en su libro Magia Inteligente.
Además, en Artiludios puede manipularse el rompecabezas de los enanitos para analizarlo mejor.
Sobre todo, Matemáticas 