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Partes imaginarias iguales

numeros_complejosEl número complejo z  = 9 + bi  es tal que z2 y z3 tienen la misma parte imaginaria.

¿Cuál es el valor de b ?

El valor real de i^i

Todo el mundo, en el ámbito matemático, conoce la identidad de Euler

identidadeuler

deducida como un caso particular de la fórmula de Euler. Esta se obtiene a partir de las expresiones de las razones trigonométricas seno y coseno y de la función exponencial en series de Taylor; en Gaussianos podéis ver la deducción de manera muy clara.

Pues bien, de esa identidad se puede obtener el valor de una potencia en la que base y exponente son, ambos, el número imaginario i. ¡Y ese valor es real!

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que es un valor real. Es decir,

valor

El tesoro del pirata

Después de unos problemas bastante asequibles llega éste, muy clásico, que exige ciertos conocimientos matemáticos:

tesoropirataCuenta la leyenda que un velero pirata llegó a una remota isla perseguido por galeones españoles  y, en ella, el capitán escondió el botín que llevaba a bordo, fruto de sus abordajes.

Desembarcó con sus secuaces en una playa desierta, donde había una palmera y una roca. Clavó en la playa su espada y, desde ella, caminó en linea recta hasta la palmera. Estando en ella giró 90º en sentido contrario de las agujas del reloj y anduvo (siempre en línea recta) la misma distancia anterior, en donde hincó una estaca.

Volvió a la posición de la espada y caminó, también en línea recta, hasta la roca y, girando 90º en el mismo sentido de las agujas del reloj, repitió la misma distancia, y del mismo modo, hasta un punto en donde clavó otra estaca.

Buscó el punto medio entre las dos estacas y allí ordenó enterrar el tesoro. De inmediato mandó recoger la espada y las estacas para, así, proteger la situación exacta del tesoro.

Volvió al barco con su tripulación y siguió con sus fechorías… hasta que pasaron diez años. Entonces volvió a la isla y desenterró el tesoro.

¿Cómo consiguió localizar el tesoro con la ayuda, únicamente, de la situación de la palmera y de la roca, que aún permanecían allí?

¡A disfrutarlo…!