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Teorema del Aporte de Nuevas Diagonales

Gaurish Korpal, quien nos hizo el otro día una interesantísima aportación, mantiene un excelente blog de matemáticas  por el que paso con asiduidad.

Uno de sus artículos trata de un atractivo teorema descubierto (y demostrado) por él mismo referido a las diagonales de los polígonos. Le llama

New Diagonal Contribution Theorem  (NDCT)

que se traduciría por Teorema del Aporte de Nuevas Diagonales.

Dice que

Dado un polígono de n  lados (n>3), el número de nuevas diagonales que se van dibujando a partir de un vértice y siguiendo por los sucesivos adyacentes (en un sentido dado) viene determinado siempre por la secuencia n-3, n-3, n-4, …, 2, 1, 0, 0

Pueden verse en la imagen ejemplos para polígonos de 4 a 8 lados en los que, a partir de las diagonales de un vértice (escrito en rojo) se sigue, en sentido contrario a las agujas del reloj, por los demás vértices dibujando nuevas diagonales comprobando la afirmación del teorema. El número de dichas diagonales se señala al lado del vértice correspondiente.

La secuencia para los cuadriláteros es 1, 1, 0, 0; para los pentágonos 2, 2, 1, 0, 0; para los hexágonos 3, 3, 2, 1, 0, 0; … y, así, sucesivamente.

La demostración es elemental: dado un polígono de n lados (n>3) el primer vértice tomado puede conectarse con los n-1 vértices restantes formando n-1 segmentos pero con los dos adyacentes forma lados del polígono, por lo que el número de diagonales que se construyen es n-3.

Con el siguiente vértice (siguiendo un sentido que será, ya, el mismo siempre) aparecen, por la misma razón, n-3 nuevas diagonales.

Con el tercer vértice aparecerán las mismas diagonales excepto la construida con el primer vértice, que ya estará dibujada. En suma, serán n-4 las nuevas diagonales.

El cuarto vértice determinará n-5 nuevas diagonales pues las diagonales con los dos primeros vértices estarán ya creadas.

Con los demás vértices pasará algo similar (siempre se podrán construir diagonales en una cantidad de una unidad menor respecto a las construidas a partir del vértice anterior) hasta llegar al antepenúltimo vértice que permitirá la creación de una única diagonal con el último vértice que podamos tomar. Además esa diagonal será la última posible pues con los dos restantes vértices no podremos crear ninguna diagonal más.

De esta manera se crea la secuencia que se ha dado en el enunciado y queda demostrado el teorema.

¡Ah!: es evidente que la suma de todos los términos de la secuencia es igual al número de diagonales del polígono que, como se sabe, es n.(n-3)/2. Dejo a los lectores la demostración, también muy sencilla.

NOTA FINAL: Agradezco la aprobación de Gaurish Korpal para la creación y emisión de este artículo, traducción del suyo.
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El seno de la suma de dos ángulos

Una forma (entre otras muchas) de demostrar el seno de la suma de dos ángulos:

Consideramos dos ángulos positivos cualesquiera α y β tales que α+β < 90o y dibujamos un rombo de lado unidad (de color rojo) uno de cuyos ángulos es α+β

Trazamos ahora un rectángulo (de color azul) cuyos lados contengan a los cuatro vértices del rombo y formen, con los lados del rombo, los ángulos α y β

Obtenemos la figura que se muestra a continuación, siendo muy fácil identificar las longitudes que se señalan conociendo los conceptos de seno y coseno de un ángulo agudo.

trigonometria

Además, es bastante sencillo comprobar que la altura (de color verde) del rombo es sen(α+β) considerando el triángulo rectángulo en el que se encuentra, de hipotenusa 1  y cuyo ángulo opuesto es α+β

Observamos entonces que el área del rectángulo podemos obtenerla de dos maneras:

A1 = base x altura = (sen α + sen β) x (cos α + cos β)

A2 = área del rombo + áreas de triángulos rectángulos exteriores =
= 1 x sen(α+β) + 2 x ½ x sen α x cos α + 2 x ½ x sen β x cos β =
= sen(α+β) + sen α x cos α + sen β x cos β

Igualando obtenemos que

sen(α+β) + sen α x cos α + sen β x cos β =
= (sen α + sen β) x (cos α + cos β) =
= sen α x cos α + sen α x cos β + sen β x cos α + sen β x cos β

luego, simplificando,

sen(α+β) = sen α x cos β + cos α x sen β

que es la fórmula que determina el seno de la suma de dos ángulos en función de las razones de ambos, demostrada para ángulos positivos cuya suma sea menor que un recto.

Con las relaciones entre razones de ángulos que nos permite descubrir la circunferencia goniométrica puede extenderse la validez de esta fórmula a cualquier par de ángulos.

MI y las demostraciones matemáticas

verificarA propósito de una extensa reflexión sobre el concepto de teorema matemático, en esta página se propone un juego unipersonal: el MI.

Este juego consiste en comenzar con una cadena cualquiera de letras (una ‘palabra’ ) e ir transformándola conforme a cuatro únicas reglas:

  1. Se puede añadir una U al final de cada cadena que termina con una I
  2. Cualquier subcadena de la forma Mx (donde  x es otra subcadena cualquiera) puede ser reemplazada por  Mxx
  3. Cada subcadena de la forma III puede ser reemplazada por una  U
  4. Cada subcadena de la forma UU puede ser borrada de la cadena

Así, por ejemplo, las siguientes transformaciones son válidas:

  • MI  →  MII (por la regla 2)
  • MII  →  MIIII (por 2)
  • MIIII  →  MIIIIU (por 1)
  • MIIIIU  →  MIUU (por 3)
  • MIUU  →  MI (por 4)

Se pueden aplicar las reglas en cualquier orden para transformar su cadena.

La pregunta es:

A partir de la cadena MI y usando únicamente las cuatro reglas, ¿es posible llegar a la cadena  MU?

Si consigues responder razonadamente a la pregunta habrás realizado, exactamente, el proceso idéntico a una DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA.

¿Te atreves?

Raíz de dos es irracional

Ya en 2006 Gaussianos daba dos demostraciones  de la irracionalidad de raíz de 2, entre ellas la clásica por reducción al absurdo:

d1

y proponía que se mostrasen otras si se conocían.

Hace poco encontré en The Aproximate Present esta demostración curiosa, bonita e interesante y también por reducción al absurdo:

d2

Después de nueve años de la propuesta no está mal, ¿eh?… 😉