El pato-conejo cartesiano

Las coordenadas de T

La parábola de ecuación y=x²–ax–a, con a>0, intersecta al eje Ox en los puntos P y Q y al eje Oy en el punto R.

Sea S la circunferencia que pasa por P, Q y R, y sea T el otro punto de intersección de la circunferencia S con el eje Oy.

Halla las coordenadas del punto T.

Las ternas pitagóricas

El canal 3Blue1Brown Español nos invita a recordar las ternas pitagóricas y explica cómo obtenerlas usando un sistema de coordenadas cartesianas y/o con números complejos.

Además, muestra la representación gráfica, nada aleatoria, de los puntos asociados a todas ellas y el “dibujo” que forman en el sistema: los puntos asociados se distribuyen por el sistema cartesiano a través de parábolas y rectas radiales que pasan por el origen de coordenadas.

Muy interesante.

 

Puntos visibles

Se consideran los puntos del plano P=(x,y) con sus dos coordenadas enteras. Diremos que P es visible desde O=(0,0) si el segmento OP no contiene otros puntos de coordenadas enteras además de O y P.

Determina cuántos puntos Q de la forma Q=(x,2020) con x entero, 1≤x≤2020, son visibles desde O.

Policías y ladrones

Policías y ladrones (Cops and Robbers) es un excelente solitario que tiene como objetivo familiarizarse con el sistema de coordenadas cartesianas.

Un ladrón se encuentra escondido en un cruce de calles, todas representadas en una trama cartesiana, de una moderna ciudad.

Estos cruces están referenciados con coordenadas cartesianas que deben introducirse en las casillas correspondientes y, pulsando el botón Test coords, recibir la respuesta del juego, que es la distancia, en segmentos de calle, a la que se encuentra el ladrón.

De esta manera, entrando sucesivos cruces y con la información que se recibe, se llega a localizar al ladrón, acabando el juego.

La práctica de este juego hace que la localización del ladrón se consiga, cada vez, en menos intentos al aplicar estrategias adecuadas.

Tiene cuatro niveles que permiten jugar desde únicamente el primer cuadrante de un sistema plano hasta jugar en un sistema tridimensional. Además, se puede jugar a pantalla completa pulsando la opción Full Screen.

Se accede al juego pulsando en este enlace o en la imagen.

Koval’s 3D Grapher

Un estudiante de 17 años del centro St. Charles East High School de Chicago, Alan Koval, es un notable programador que ha diseñado la Koval’s 3D Grapher, una herramienta online para realizar gráficas en tres dimensiones con los tipos clásicos de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas,  de las que ya mostramos en otra entrada las fórmulas de conversión entre ellas.

Tiene una manera de introducción de datos muy sencilla y la ayuda, en la esquina superior derecha, nos aclara todas las dudas que podamos tener y nos muestra las funciones que podemos usar y como escribir los caracteres griegos necesarios para las coordenadas.

Por supuesto podemos ver el resultado con o sin ejes de coordenadas y renderizado o no, y almacenarlo en un formato común de imagen.

En la imagen aparece la gráfica del clásico toro (donut ):

Pulsando en ella se accede a la aplicación.

Nota.- Después de la elaboración de esta entrada, la aplicación que comentamos presenta nuevas propiedades, como la posibilidad de animar la construcción de los gráficos, y cambia también la entrada de datos.

Curvas mariposa

La curva mariposa, como su nombre indica, es una curva plana algebraica dada por una ecuación en coordenadas cartesianas o una curva plana trascendente dada en ecuaciones paramétricas o con una ecuación en coordenadas polares. Aquí tenéis su construcción en Geogebra.

En ambos casos (más en el segundo) asemeja a una mariposa, de ahí su nombre.

Generalizando la ecuación en coordenadas polares, en el caso de la curva trascendente, a ésta

se puede, alterando los parámetros, construir las llamadas curvas mariposa, con efectos singulares.

En esta página puede experimentarse con este tipo de curvas.

Cambio de coordenadas

Aquí os dejo una ficha con las fórmulas de conversión entre coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

La ordenada

La figura muestra un círculo con diámetro AB y un punto C sobre la circunferencia.

Calcula la ordenada de C

Zona cartesiana

Se dibujan cinco cuadrados de lado 1 en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas como se muestra en la figura.

Si el área de la región sombreada es 5/2, ¿cuál es el valor de a ?