Palabra de Fibonacci

Uno de los conceptos matemáticos más conocidos, y protagonista habitual de artículos divulgativos, es la sucesión de Fibonacci, generadora de la razón aúrea y presente en diferentes contextos en la vida real.

Recordemos, por si hiciera falta, como se construye:

Dados dos valores iniciales F(1) = 0 y F(2) = 1, se forman los siguientes de la sucesión mediante la suma de sus dos anteriores:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

dando lugar a la sucesión

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Observemos una interpretación gráfica (de muchas) de esta sucesión: la espiral de Fibonacci, que es una aproximación a la espiral dorada.

En base a la construcción de esta sucesión se definen otras series y conceptos, variando valores de términos iniciales o usando elementos y operaciones con cierta analogía.

Una de las interesantes definiciones, en este contexto, es la palabra de Fibonacci.

El concepto aparece a partir de la creación de una serie con cadenas de dígitos binarios y la concatenación de dichas cadenas como operación: definimos dos valores iniciales

P(1) = 0 y P(2) = 01

y construimos los siguientes elementos de la serie mediante la concatenación de sus dos anteriores:

P(n) = P(n-1)P(n-2)

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

que llamamos palabras binarias, y cuyas longitudes (número de dígitos) siguen la sucesión de Fibonacci.

Pues bien, el término límite es la llamada palabra (infinita) de Fibonacci, cuyos elementos (dígitos) forman la secuencia A003849 en OEIS.

Observando los términos, si eliminamos sus dos últimos dígitos obtenemos siempre una palabra capicúa o palindrómica.

Como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci.

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