Archivo diario: 02/09/2018

Un corolario del teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo dice que

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Si se observa la imagen adjunta, el teorema dice que

a.c+b.d=e.f

y aquí está la demostración.

Una consecuencia inmediata de este teorema es este curioso resultado:

Dado un triángulo equilátero inscrito en un círculo y un punto P del círculo, la distancia desde el punto al vértice más distante del triángulo es igual a la suma de las distancias desde el punto a los dos vértices más cercanos.

Esto es, según la imagen adjunta,

p=m+n

La demostración es muy sencilla: aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero ABPC, se cumple que

a.m+a.n=a.p

y, simplificando la igualdad, obtenemos el resultado esperado.

Solución al problema “Valor trigonométrico”

Esta es la solución del problema Valor trigonométrico, propuesto en la entrada del día 19 de agosto: