¿Cuántos enteros positivos x verifican que tanto x como x+99 son cuadrados perfectos?
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Sobre todo, Matemáticas 
Yo encuentro solo tres números a saber 1,225,2401
Yo también. Pero no he deducido porqué.
ya está!
x+99 = a^2 ; x = b^2;
a^2 – b^2 =99=(100-1)=10^2-1^2=(10+1)(10-1);
a=10;b=1;
x=1
a^2 – b^2 ==99=(324-225)=18^2-15^2=(18+15)(18-15);
a=18;b=15;
x=225
a^2 – b^2 =99=50+49; (a+b)(a-b) = (50+49)(50-49);
a=50; b=49;
x=2401
Tenemos que:
a^2 = x
b^2 = x + 99
b^2 – a^2 = 99 + x – x = 99
(b + a) · (b – a) = 99
como x y x +99 son cuadrados perfectos, a y b también deben ser enteros, y por tanto también su suma y resta. Entonces, podemos sacar los resultados de factorizar 99 (3 * 3 * 11) en parejas:
11 * 9 = 99 –> b + a = 11, b – a = 9
Por tanto, b = 10 y a = 1, y la primera x es a^2 = 1
33 * 3 = 99 –> b +a = 33, b – a = 3
Por tanto, b = 18 y a = 15, y la segunda x es a^2 = 225
99 * 1 = 99 –> b +a = 99, b – a = 1
Por tanto, b = 50 y a = 49, y la última x es a^2 = 2401
Ya no hay más combinaciones con los factores de 99.
PD: Para saber a y b con b + a y b – a podemos sumar o restar las ecuaciones.