El valor real de i^i

Todo el mundo, en el ámbito matemático, conoce la identidad de Euler

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deducida como un caso particular de la fórmula de Euler. Esta se obtiene a partir de las expresiones de las razones trigonométricas seno y coseno y de la función exponencial en series de Taylor; en Gaussianos podéis ver la deducción de manera muy clara.

Pues bien, de esa identidad se puede obtener el valor de una potencia en la que base y exponente son, ambos, el número imaginario i. ¡Y ese valor es real!

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que es un valor real. Es decir,

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4 Respuestas a “El valor real de i^i

  1. En realidad i^i tiene muchos valores y todos dependen de la rama del logarítmo que hayas tomado. En tu calculo no estas teniendo cuidado al sacar la raíz cuadrada (elevar al 1/2) este valor no es único pues nuevamente depende de la rama del logarítmo.

    Todos los valores de i^i son exp(-π/2 + 2kπ) con k moviéndose en los enteros.

  2. Para hacer más claro que faltan valores: Fijate que i = e^{\frac{\pi i}{2} + 2k\pi} para k \in \mathbb Z y entonces cundo elevas a la i la identidad anterior encuentras que :

    $\latex i^i = e^{(\frac{\pi i}{2} + 2\pi k)i} = e^{-\frac{\pi}{2}} e^{2k\pi}$

  3. No se ve bien lo que escribí. Perdón por llenar de mensajes que no se entienden. Lo voy a intentar de nuevo pero ojalá puedan borrar los anteriores:

    De hecho i^i tiene una infinidad de valores. Estos valores dependen de la “rama del logaritmo (complejo) que estemos tomando”.

    Sabemos que i = e^{\frac{\pi i}{2}} pero de hecho también tenemos que para cada entero k se cumple que i = e^{(\frac{\pi }{2} +2k\pi)i} (que corresponde a darle una vuelta k vueltas al círculo unitario).

    Entonces tenemos que:

    i^i =  (e^{(\frac{\pi }{2} +2k\pi)i})^i =  e^{-(\frac{\pi }{2} +2k\pi)}

    y vemos entonces que para cada valor de k \in \mathbb Z tenemos un resultado distinto como valor de i^i.

  4. Respecto a la raíz cuadrada, si partimos de (e^i(pi+2kpi))^(1/2)=(-1)^(1/2) para cualquier entero k, deberemos posteriormente restringir la igualdad que se obtiene a valores pares de k porque si no, para valores impares, obtendríamos i=-i. A partir de ahí, se obtiene que i=e^ipi/2
    Por otro lado, para la potencia me he limitado a obtener el valor comúnmente aceptado y que se obtiene de manera única, también, usando logaritmos. https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario#Usos
    Gracias por tus comentarios.

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