La suma de los tres

xyzSean tres números naturales distintos entre sí tales que la suma de los productos de cada uno de los pares que pueden formarse es igual al producto de los tres.

¿Qué valores puede tomar la suma de los tres?

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2 Respuestas a “La suma de los tres

  1. XY+YZ+XZ = XYZ
    Operando llegamos
    y/(Y-1)=XZ/(X+Z)
    El primer término como máximo es 2 para Y=2, como los 3 son indistinguibles, si uno no fuera 2, tendríamos que el primer termino da 1,50 como máximo para y=3 y el segundo como mínimo 20/9 >2, por lo que uno de los tres si o si debe ser 2.
    Entonces tomamos y= 2
    ZX= 2(Z+X)
    Z = 2X/(X-2)
    Como x no puede ser otro 2, probamos X=3, Z=6, con x= 4 z daría tambien 4, para 5 no hay solucion Para x= 6 z= 3, y se acabó porque la funcion es decreciente y z no puede ser menor que 3.
    Entonces la unica solucion es 2 3 y 6 y la suma de los 3 es 11

  2. Otra forma de resolverlo. Dividimos todo entre xyz, nos queda 1/x + 1/y + 1/z = 1

    Tendremos tres valores, tomemos el menor.

    – ¿Puede ser 1? 1/1 = 1, a poco que se añada con los otros superamos la unidad.
    – ¿Puede ser 3 ó mayor? 1/3 + 1/3 +1/3 = 1. Cualquier número igual o mayor de 3 para el primero de los valores, obliga a que los otros minoren más el resultado deseado.

    Necesariamente el menor ha de ser 2. Veamos el siguiente en orden ascendente

    – ¿Puede ser 4 ó mayor? 1/2 + 1/4 +1/4 = 1. Cualquier número igual o mayor de 4 para ese segundo, obliga a que el tercero haga imposible la consecución del total 1.

    Por obligación, el segundo ha de ser 3. Con dos valores posibles, sólo nos queda calcular el tercero.

    1/2 + 1/3 +1/z = 1, z = 6.

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