Sucesiones de Farey

Una sucesión de Farey Fn para un entero positivo n es una sucesión de todas las fracciones irreducibles entre 0 y 1 escritas en orden creciente que pueden generarse a partir de las fracciones de denominador menor o igual a n

Por ejemplo, la sucesión F5 se construye a partir de las fracciones

farey51

eliminándose aquellas que tienen un valor repetido

farey52

y, finalmente, ordenando las que quedan de menor a mayor

farey53

Así, las primeras sucesiones de Farey son

farey17

y verifican que cada una de ellas contiene a todas las anteriores.

Si tomamos cualquier trío de fracciones consecutivas en una de las sucesiones se verifica que la suma de los numeradores de las de los extremos dividida por la suma de los denominadores de las de los extremos es igual al valor de la fracción intermedia.

Es decir, si en una sucesión tomamos tres fracciones consecutivas

a /b < c /d < e /f

se verifica siempre que

(a + e )/(b + f ) = c /d

Comprobadlo en cualquiera de las sucesiones descritas en la imagen anterior.

Se sabe también que el número de términos de la sucesión Fn se puede obtener de manera aproximada a partir de la expresión 3n22

Son muy evidentes las propiedades visuales que aparecen cuando se representan las sucesiones mediante puntos en un sistema de coordenadas, indicando en el eje horizontal los valores de las fracciones y en el eje vertical los sucesivos valores de n

fareyGraph

Como puede apreciarse en este gráfico, debido a Debra Borkovitz, los puntos correspondientes a fracciones con el mismo numerador construyen hipérbolas (en realidad se sitúan sobre una misma curva hiperbólica).

Se han remarcado en el gráfico las correspondientes a numerador 7 y numerador n-7 respectivamente.

Para poder manipular esta gráfica podéis acceder al applet de Geogebra que la genera.

Así mismo, una función recursiva permite obtener todos los términos de cualquier sucesión de Farey. Podéis adaptarla al lenguaje de programación que os sea más familiar.

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