La conjetura de Hadwiger

trapeImagínate que tienes dibujado, en una hoja de papel, un polígono convexo y cerrado y plantéate cuántos polígonos homotéticos con él con razón positiva (es decir, ‘fotocopias’ del original sin giros posibles) , de menores dimensiones que las del original, permiten cubrir todos los puntos de la superficie del polígono original.

triPues en base a una experiencia de muchos ejemplos puedo decirte que, como mínimo, son cuatro las imágenes que debes aportar para cubrir la original totalmente. Y eso en algún caso extremo, porque lo normal es que con tres basten, como se puede apreciar en los casos que se muestran.

paralelEse caso extremo, para el que se necesitan cuatro copias exactas y de medidas menores de las del original, es el correspondiente al paralelogramo, pues necesita una copia para “tapar” cada vértice.

Este hecho fue demostrado por un matemático: se necesitan, como mínimo, cuatro copias (22) exactas del original y con menores medidas (no se contempla la solución trivial para dimensiones idénticas) para cubrir toda la superficie de cualquier forma convexa bidimensional. Este demostración se realizó en 1955 por Friedrich Wilhelm Levi.

Pero el matemático alemán Hugo Hadwiger estableció su propia conjetura al respecto, extendiendo este resultado a dimensiones superiores:

Se necesitan, al menos, 2^n copias homotéticas iguales de razón positiva y menor de la unidad para cubrir todo el espacio de cualquier forma convexa n-dimensional.

Y esto, que pertenece al campo del la geometría combinatoria, no está demostrado a partir de tres dimensiones.

Este resultado, en tres dimensiones, equivale al mínimo número de fuentes de luz que pueden iluminar completamente una forma tridimensional siempre y cuando que cada una de esas fuentes de luz no rebasen, en su iluminación, un espacio superior a la proyección del objeto sobre el plano ortogonal a dicha fuente.

Aunque se sabe que 16 fuentes de luz de las características citadas iluminan completamente cualquier forma tridimensional convexa, la conjetura que nos ocupa dice que basta ocho para hacerlo.

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3 Respuestas a “La conjetura de Hadwiger

  1. Puede darle una referencia para la definición de “polígono homotética” en Inglés.

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